30分钟搞懂线性回归：从数学公式到西瓜书实战指南
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你是否还在为机器学习中的线性回归公式头疼？看着满页的数学符号却不知道如何下手实现？本文将用最通俗的语言，带你一步步揭开线性回归的神秘面纱，从一元到多元，从数学推导到《机器学习》（西瓜书）实战应用，让你彻底搞懂这个最基础也最重要的算法。读完本文，你将能够：理解线性回归的核心思想、掌握从一元到多元的推导过程、学会使用南瓜书辅助学习、独立实现简单的线性回归模型。
线性回归的核心思想
线性回归（Linear Regression）是机器学习中最基础也是应用最广泛的算法之一，它的核心思想非常简单：找到一条直线（或超平面），使得数据点到这条直线（或超平面）的距离之和最小。就像我们想根据西瓜的大小来预测它的价格，线性回归就是帮我们找到大小和价格之间的最佳线性关系。
一元线性回归的数学推导
模型定义
一元线性回归模型可以表示为：
$y = wx + b$
其中，$x$ 是自变量（如西瓜的大小），$y$ 是因变量（如西瓜的价格），$w$ 是权重（weight），$b$ 是偏置（bias）。我们的目标就是找到最优的 $w$ 和 $b$，使得模型的预测值与真实值之间的误差最小。
损失函数
为了衡量模型的好坏，我们需要定义一个损失函数（Loss Function）。最常用的是均方误差（Mean Squared Error, MSE）：
$L(w,b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - (wx_i + b))^2$
其中，$n$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$wx_i + b$ 是模型的预测值。我们的目标就是最小化这个损失函数。
参数求解
要找到最小化损失函数的 $w$ 和 $b$，我们可以使用梯度下降法（Gradient Descent），也可以直接通过数学推导求解。这里我们介绍后者。
对 $L(w,b)$ 分别求关于 $w$ 和 $b$ 的偏导数，并令其等于 0：
$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - wx_i - b)(-x_i) = 0$
$\frac{\partial L}{\partial b} = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - wx_i - b)(-1) = 0$
解这两个方程，可以得到：
$b = \bar{y} - w\bar{x}$
$w = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$
其中，$\bar{x}$ 是 $x$ 的平均值，$\bar{y}$ 是 $y$ 的平均值。
多元线性回归的扩展
当自变量不止一个时，比如我们不仅用西瓜的大小，还用它的甜度、色泽来预测价格，就需要用到多元线性回归。
模型定义
多元线性回归模型可以表示为：
$y = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_dx_d + b$
用向量形式可以更简洁地表示为：
$y = \mathbf{w}^T\mathbf{x} + b$
其中，$\mathbf{w} = (w_1, w_2, ..., w_d)^T$ 是权重向量，$\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_d)^T$ 是输入向量，$b$ 是偏置。
损失函数与参数求解
多元线性回归的损失函数同样可以定义为均方误差：
$L(\mathbf{w},b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - (\mathbf{w}^T\mathbf{x}_i + b))^2$
为了方便计算，我们可以将偏置 $b$ 也纳入权重向量，令 $\hat{\mathbf{w}} = (\mathbf{w}^T, b)^T$，$\hat{\mathbf{x}}_i = (\mathbf{x}_i^T, 1)^T$，则模型可以表示为：
$y = \hat{\mathbf{w}}^T\hat{\mathbf{x}}$
此时损失函数为：
$L(\hat{\mathbf{w}}) = \frac{1}{n}|\mathbf{Y} - \mathbf{X}\hat{\mathbf{w}}|^2$
其中，$\mathbf{Y}$ 是真实值向量，$\mathbf{X}$ 是样本矩阵（每一行是一个样本）。
对 $\hat{\mathbf{w}}$ 求导并令其等于 0，可以得到：
$\hat{\mathbf{w}} = (\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^T\mathbf{Y}$
这就是多元线性回归的正规方程解（Normal Equation）。
南瓜书辅助学习
《机器学习》（西瓜书）是机器学习领域的经典教材，但其中的公式推导对于初学者来说可能有些晦涩。而南瓜书（README.md）作为西瓜书的公式详解，为我们提供了极大的帮助。
南瓜书的 docs 目录下有各个章节的详细解释，比如docs/chapter3/chapter3.md就详细讲解了线性回归相关的内容。你可以通过这些文档，结合西瓜书进行学习，加深对公式的理解。
实战应用
学习了线性回归的理论知识后，我们可以尝试用代码实现一个简单的线性回归模型。这里我们以南瓜书中的例子为例，假设我们有一批西瓜的数据，包括大小、甜度和价格，我们可以用多元线性回归来预测西瓜的价格。
首先，我们需要准备数据。然后，根据上面推导的公式，计算出权重 $\mathbf{w}$ 和偏置 $b$。最后，用得到的模型进行预测。
虽然本文不包含具体的代码实现，但你可以参考南瓜书中的示例，结合自己的理解进行实践。相信通过理论学习和实际操作，你一定能熟练掌握线性回归算法。
总结
本文从线性回归的核心思想出发，详细推导了一元和多元线性回归的数学公式，并介绍了如何使用南瓜书辅助学习。线性回归作为机器学习的基础算法，虽然简单，但应用广泛，掌握它对于后续学习更复杂的算法至关重要。希望本文能帮助你更好地理解线性回归，为你的机器学习之旅打下坚实的基础。如果你觉得本文对你有帮助，欢迎点赞、收藏，也欢迎在评论区分享你的学习心得。下一篇文章，我们将介绍线性回归的正则化方法，敬请期待！
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